असमानताओं की प्रणाली एक समाधान है। रैखिक असमानताओं की प्रणाली

असमानताओं और असमानताओं में से एक हैवह बीज जो बीजगणित में हाईस्कूल में होता है। जटिलता के स्तर पर, यह सबसे कठिन नहीं है, क्योंकि इसमें सरल नियम हैं (उनके बारे में थोड़ी देर बाद)। एक नियम के रूप में, छात्र आसानी से असमानताओं की प्रणाली को हल कर सकते हैं। यह इस तथ्य के कारण भी है कि शिक्षक इस विषय पर अपने छात्रों को "प्रशिक्षित" करते हैं। और वे ऐसा नहीं कर सकते हैं, क्योंकि भविष्य में अन्य गणितीय मात्राओं के उपयोग के साथ अध्ययन किया जाता है, और ओजीई और यूएसई के लिए भी जांच की जाती है। स्कूल पाठ्यपुस्तकों में, असमानताओं और असमानताओं का विषय बहुत विस्तार से वर्णित है, इसलिए यदि आप इसका अध्ययन करने जा रहे हैं, तो उनका सहारा लेना सबसे अच्छा है। यह आलेख केवल बड़ी सामग्री को दोबारा हटा देता है, और इसमें कुछ चूक हो सकती है।

असमानताओं की एक प्रणाली की अवधारणा

यदि आप वैज्ञानिक भाषा में बदल जाते हैं, तो आप दे सकते हैं"असमानताओं के सिस्टम" की अवधारणा को परिभाषित करते हैं। यह इस तरह के एक गणितीय मॉडल है, जो कुछ असमानताओं है। इस मॉडल से, निश्चित रूप से, यह एक समाधान की जरूरत है, और अपनी क्षमता के सभी (काम में प्रस्तावित प्रणाली की असमानताओं को आम तौर पर उस में के लिए एक आम जवाब के रूप में कार्य करने के लिए और लिखने, उदाहरण के लिए: "असमानताओं के सिस्टम का समाधान 4 x + 1> 2 30 - एक्स > 6 ... ")। हालांकि, प्रकार और बनाने के तरीकों के लिए आगे बढ़ने से पहले, आप कुछ और क्या यह पता लगाने की जरूरत है।

असमानताओं और समीकरणों की प्रणाली की प्रणाली

एक नया विषय अक्सर पढ़ने की प्रक्रिया मेंगलतफहमी हैं। एक ओर, सबकुछ स्पष्ट है और कार्यों को हल करना शुरू करना चाहते हैं, और दूसरी तरफ - कुछ क्षण "छाया" में रहते हैं, जो काफी अच्छी तरह से समझ में नहीं आता है। इसके अलावा, पहले से प्राप्त ज्ञान के कुछ तत्वों को नए लोगों के साथ जोड़ा जा सकता है। इस "ओवरलैपिंग" के परिणामस्वरूप, गलतियां अक्सर होती हैं।

इसलिए, इससे पहले कि हम अपने विश्लेषण शुरू करेंविषय, आपको समीकरणों और असमानताओं, उनके सिस्टम के बीच मतभेदों के बारे में याद रखना चाहिए। ऐसा करने के लिए, हमें एक बार फिर व्याख्या करना होगा कि गणितीय अवधारणाएं क्या हैं। समीकरण - यह हमेशा बराबर है, और यह हमेशा कुछ है (गणित के क्षेत्र में इस शब्द का अर्थ है "=" चिह्न) है। असमानता एक मॉडल है, जिसमें किसी एकल मान या अधिक, या किसी अन्य की तुलना में कम है, या एक बयान है कि वे एक ही नहीं कर रहे हैं होता है। इस प्रकार, पहले मामले में यह, समानता की बात करना, और दूसरे में, जैसे कि यह नाम से स्पष्ट लग सकता है, मूल डेटा की असमानता उचित है। समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली व्यावहारिक रूप से एक-दूसरे से अलग नहीं होती हैं और उन्हें हल करने के तरीके समान होते हैं। केवल अंतर यह है कि पहले मामले में हम समानता का उपयोग करते हैं, जबकि दूसरी असमानता में उपयोग किया जाता है।

असमानताओं के प्रकार

असमानताओं के दो प्रकार हैं: संख्यात्मक और अज्ञात चर के साथ। पहला प्रकार मात्रा (आंकड़े) द्वारा दर्शाया जाता है जो एक-दूसरे के लिए असमान होते हैं, उदाहरण के लिए, 8> 10. दूसरा एक असमानता है जिसमें अज्ञात चर होता है (लैटिन वर्णमाला के किसी भी अक्षर द्वारा निर्दिष्ट, अक्सर एक्स)। इस चर के लिए इसकी खोज की आवश्यकता है। उनमें से कितने गणितीय मॉडल असमानताओं में से एक हैं (एक चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं) या कई चर (कई चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं) के आधार पर।

उनकी निर्माण की डिग्री के मामले में अंतिम दो प्रजातियां औरसमाधान की जटिलता का स्तर सरल और जटिल में बांटा गया है। सरल को रैखिक असमानता भी कहा जाता है। बदले में, वे सख्त और गैर-सख्त में विभाजित होते हैं। विशेष रूप से "कहें" सख्त करें कि एक मान आवश्यक रूप से कम या अधिक होना चाहिए, इसलिए यह अपने शुद्ध रूप में असमानता है। यहाँ कुछ उदाहरण हैं: .. 8 x + 9> 2 100 - 3 x> 5, आदि गैर सख्त अधिक और समानता शामिल हैं। यही कारण है कि है, एक मूल्य के बराबर या उससे अधिक एक और मूल्य (साइन "≥") करने के लिए या बराबर या उससे कम एक और मूल्य के लिए हो सकता है (साइन "≤")। चर में अधिक रैखिक असमानताओं, वर्ग का मूल पर नहीं है नहीं है, जो कारण है कि वे "सरल" कहा जाता है है कुछ भी से विभाज्य है। जटिल लोगों में अज्ञात चर शामिल हैं, जिनमें से अधिक गणितीय परिचालन की आवश्यकता है। वे अक्सर एक वर्ग, घन में या रूट के तहत पाए जाते हैं, मॉड्यूलर प्रवेश करते है, आंशिक, आदि हो सकता है लेकिन क्योंकि हमारे काम को सुलझाने असमानताओं के प्रणालियों की जरूरत को समझने के लिए है, तो हम रैखिक असमानताओं के सिस्टम के बारे में बात करते हैं। हालांकि, इससे पहले, आपको उनके गुणों के बारे में कुछ शब्द कहना चाहिए।

असमानताओं की संपत्तियां

निम्नलिखित प्रावधान असमानताओं के गुणों पर लागू होते हैं:

1. यदि असमानता पक्षों को विपरीत करने के लिए उपयोग किया जाता है तो असमानता संकेत उलट जाता है (उदाहरण के लिए, यदि टी₁ ≤ टी₂, फिर टी₂ ≥ टी₁)।
2. असमानता के दोनों भाग एक को एक ही संख्या में जोड़ने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि टी₁ ≤ टी₂, फिर टी₁ + संख्या ≤ टी₂ + संख्या)।
3. एक दिशा के संकेत वाले दो या दो से अधिक असमानताओं में से एक को अपने बाएं और दाएं किनारे जोड़ने की अनुमति मिलती है (उदाहरण के लिए, यदि टी₁ ≥ टी₂, टी₃ ≥ टी₄, फिर टी₁ + टी₃ ≥ टी₂ + टी₄)।
4. असमानता के दोनों भाग खुद को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि टी₁ ≤ टी₂ और संख्या ≤ 0, फिर संख्या टी₁ ≥ संख्या · टी₂)।
5. सकारात्मक शर्तों वाले दो या दो से अधिक असमानताओं और एक दिशा के संकेत से किसी एक को एक-दूसरे से गुणा करने की अनुमति मिलती है (उदाहरण के लिए, यदि टी₁ ≤ टी₂, टी₃ ≤ टी₄, टी₁, टी₂, टी₃, टी₄ ≥ 0 फिर टी₁ टी₃ ≤ टी₂ टी₄)।
6. असमानता के दोनों भाग खुद को गुणा या समान ऋणात्मक संख्या से विभाजित करने की अनुमति देते हैं, लेकिन असमानता संकेत बदलता है (उदाहरण के लिए, यदि टी₁ ≤ टी₂ और संख्या ≤ 0, फिर संख्या टी₁ ≥ संख्या · टी₂)।
7. सभी असमानताओं में पारगमन संपत्ति है (उदाहरण के लिए, यदि टी₁ ≤ टी₂ और टी₂ ≤ टी₃, फिर टी₁ ≤ टी₃)।

अब, असमानताओं से संबंधित सिद्धांत के मुख्य प्रावधानों का अध्ययन करने के बाद, हम सीधे अपने सिस्टम को हल करने के नियमों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

असमानताओं के सिस्टम का समाधान। सामान्य जानकारी हल करने के तरीकों

जैसा ऊपर बताया गया है, निर्णय हैएक चर के मान जो दिए गए सिस्टम की सभी असमानताओं के लिए उपयुक्त हैं। असमानताओं की प्रणालियों का समाधान गणितीय क्रियाओं का कार्यान्वयन है जो अंततः पूरे सिस्टम के समाधान का कारण बनता है या साबित करता है कि इसमें कोई समाधान नहीं है। इस मामले में, कहें कि चर एक खाली संख्यात्मक सेट को संदर्भित करता है (इस तरह लिखा गया है: एक चर को दर्शाते हुए पत्र ∈ (साइन "संबंधित") ø (संकेत "खाली"कई "), उदाहरण के लिए, एक्स ∈ ओ (पढ़ते हैं:" चर "एक्स" खाली सेट ") वहाँ असमानताओं के सिस्टम को हल करने के कई तरीके हैं के अंतर्गत आता है: .. चित्रमय, बीजीय, प्रतिस्थापन की विधि ध्यान दिया जाना चाहिए कि वे गणितीय मॉडल से संबंधित हैं कि कई अज्ञात चर की है। इस मामले में जहां उपयुक्त अंतराल के लिए सिर्फ एक ही रास्ता है में।

ग्राफिकल विधि

कई के साथ असमानताओं की प्रणाली को हल करने की अनुमति देता हैअज्ञात मात्रा (दो या अधिक)। धन्यवाद इस विधि के लिए, रैखिक असमानताओं के प्रणाली काफी आसानी से और जल्दी से हल किया जाता है, तो यह सबसे आम तरीका है। यह तथ्य यह है कि निर्माण अनुसूची गणितीय क्रियाओं लेखन की मात्रा को कम करने के लिए कारण है। विशेष रूप से सुखद संभाल से थोड़ी विचलित होता जा रहा है, एक शासक के साथ एक पेंसिल लेने और जब बहुत काम किया है और एक छोटे से विविधता चाहते हैं उन लोगों के साथ अगले चरणों के लिए आगे बढ़ें। हालांकि, इस विधि तथ्य हम काम से दूर तोड़ने के लिए और ड्राइंग में अपने मानसिक गतिविधि स्विच करने के लिए है कि कुछ पसंद नहीं है। फिर भी, यह एक बहुत प्रभावी तरीका है।

असमानताओं की प्रणाली को हल करने के लिएग्राफिकल विधि का उपयोग करके, प्रत्येक असमानता की सभी शर्तों को उनके बाएं हाथ में स्थानांतरित करना आवश्यक है। संकेतों को उलट दिया जाता है, सही शून्य लिखा जाना चाहिए, फिर आपको प्रत्येक असमानता को अलग से लिखना होगा। नतीजतन, असमानता कार्य पैदा करते हैं। इसके बाद, आप एक पेंसिल और शासक प्राप्त कर सकते हैं: अब प्राप्त प्रत्येक समारोह का ग्राफ तैयार करना आवश्यक होगा। संख्याओं का पूरा सेट, जो उनके चौराहे के अंतराल में होगा, असमानताओं की प्रणाली का समाधान होगा।

बीजगणितीय विधि

यह असमानताओं की प्रणाली को दो के साथ हल करने की अनुमति देता हैअज्ञात चर। असमानता भी असमानता के एक ही हस्ताक्षर होना आवश्यक है (यानी ई। या तो केवल संकेत "अधिक", या सिर्फ एक के हस्ताक्षर शामिल करने के लिए आवश्यक है और इसके आगे। "से कम") अपनी सीमाओं के बावजूद, इस विधि भी ज्यादा जटिल है। यह दो चरणों में लागू किया जाता है।

पहले से छुटकारा पाने का कार्य शामिल हैअज्ञात चरों में से एक। सबसे पहले आप यह चयन करने के लिए, और फिर चर के सामने संख्या के लिए जाँच की जरूरत है। वे नहीं कर रहे हैं (तब चर एक भी पत्र की तरह दिखाई देगा) अगर वहाँ एक (चर की तरह है, उदाहरण के लिए, तो के लिए - 5 वर्ष और 12y) है, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, तो आप यह सुनिश्चित करें कि चयनित चर से पहले नंबर के हर असमानता में था बनाना चाहिए वही 3. प्राप्त 15y और 15y क्रमश पर - ऐसा करने के लिए, एक आम पहलू से असमानता के प्रत्येक सदस्य को गुणा, उदाहरण के लिए, यदि पहले असमानता 3y, 5 वर्ष और दूसरे दर्ज की गई, यह पहली असमानता 5 से गुणा के सभी सदस्यों, और दूसरा लिए आवश्यक है।

समाधान का दूसरा चरण। हमें प्रत्येक असमानता के बायीं तरफ को दाएं हाथ के किनारों पर स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, शून्य लिखने के लिए, प्रत्येक शब्द के विपरीत को विपरीत में बदलना होगा। फिर सबसे दिलचस्प आता है: असमानताओं को फोल्ड करते समय चुने गए चर से छुटकारा पाएं (किसी अन्य तरीके से इसे "शॉर्टिंग" कहा जाता है)। हमें एक चर के साथ असमानता मिलती है, जिसे हल किया जाना चाहिए। इसके बाद, आपको वही करना चाहिए, केवल एक और अज्ञात चर के साथ। प्राप्त परिणाम सिस्टम का समाधान होगा।

प्रतिस्थापन विधि

उपस्थिति में असमानताओं की प्रणाली को हल करने की अनुमति देता हैएक नया चर दर्ज करने की क्षमता। आम तौर पर इस विधि का उपयोग तब किया जाता है जब असमानता की एक अवधि में अज्ञात चर चौथी शक्ति तक बढ़ाया जाता है, और दूसरे कार्यकाल में एक वर्ग होता है। इस प्रकार, इस विधि का उद्देश्य सिस्टम में असमानताओं की डिग्री को कम करना है। नमूना एक्स की असमानता⁴ - एक्स² इस प्रकार 1 ≤ 0 इस प्रकार हल किया गया है। एक नया चर पेश किया गया है, उदाहरण के लिए, टी। वे लिखते हैं: "टी = एक्स चलो²", तो मॉडल को एक नए रूप में फिर से लिखा गया है। हमारे मामले में हमें टी मिलती है² - टी -1 ≤0। इस असमानता को अंतराल विधि (इसके बारे में थोड़ी देर बाद) द्वारा हल किया जाना चाहिए, फिर फिर परिवर्तनीय एक्स पर वापस जाएं, फिर अन्य असमानता के साथ ऐसा ही करें। प्राप्त उत्तरों सिस्टम का समाधान होगा।

अंतराल की विधि

सिस्टम को हल करने का यह सबसे आसान तरीका हैअसमानताओं, और साथ ही यह सार्वभौमिक और व्यापक है। इसका उपयोग हाई स्कूल में और यहां तक ​​कि उच्च शिक्षा में भी किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि छात्र संख्या रेखा पर असमानता के अंतराल की तलाश करता है, जो नोटबुक में खींचा जाता है (यह एक ग्राफ नहीं है, बल्कि संख्याओं के साथ एक साधारण रेखा है)। जहां असमानता के अंतराल अंतर होते हैं, सिस्टम का समाधान पाया जाता है। अंतराल विधि का उपयोग करने के लिए, आपको निम्न चरणों का पालन करना होगा:

1. प्रत्येक असमानता की सभी शर्तों को बाईं ओर ले जाया जाता है जिसमें साइन के उलट (शून्य दाईं ओर लिखा जाता है)।
2. असमानताओं को अलग से लिखा जाता है, उनमें से प्रत्येक का निर्णय निर्धारित होता है।
3. संख्या रेखा पर असमानताओं के चौराहे हैं। इन चौराहे पर सभी संख्या समाधान होगा।

उपयोग करने के लिए किस तरह से?

जाहिर है कि वह सबसे आसान और लगता हैसुविधाजनक, लेकिन ऐसे मामले हैं जब कार्यों को एक निश्चित विधि की आवश्यकता होती है। अक्सर उनमें लिखा जाता है कि शेड्यूल के माध्यम से या अंतराल विधि के माध्यम से हल करना आवश्यक है। बीजगणितीय विधि और प्रतिस्थापन का उपयोग बहुत ही कम या बिल्कुल नहीं किया जाता है, क्योंकि वे जटिल और जटिल जटिल होते हैं, और इसके अलावा वे असमानताओं की बजाय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अधिक लागू होते हैं, इसलिए किसी को ग्राफ और अंतराल ड्राइंग करना चाहिए। वे स्पष्टता लाते हैं, जो गणितीय परिचालनों के कुशल और तेज़ आचरण को सुविधाजनक नहीं बना सकते हैं।

अगर कुछ काम नहीं करता है

बीजगणित पर एक विषय का अध्ययन करते समय,स्वाभाविक रूप से, उसकी समझ में समस्या हो सकती है। और यह सामान्य है, क्योंकि हमारे मस्तिष्क को डिजाइन किया गया है ताकि यह एक समय में जटिल सामग्री को समझने में सक्षम न हो। अक्सर, आपको पैराग्राफ को फिर से पढ़ना, शिक्षक की मदद लेना, या सामान्य कार्यों को हल करने के कार्य का अभ्यास करना होगा। हमारे मामले में, वे उदाहरण के लिए, इस तरह दिखते हैं: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 3 x + 1 ≥ 0 और 2 x - 1> 3"। इस प्रकार, व्यक्तिगत आकांक्षा, बाहरी लोगों से मदद और अभ्यास किसी भी जटिल विषय को समझने में मदद करते हैं।

एक reshuffle?

और रेज़ेबनिक भी बहुत अच्छा है, लेकिन नहींहोमवर्क धोखाधड़ी के लिए, और स्वयं सहायता के लिए। वे समाधान के साथ असमानताओं की प्रणाली पा सकते हैं, उन्हें (टेम्पलेट्स के रूप में) देखें, यह समझने की कोशिश करें कि समाधान लेखक ने कार्य के साथ कैसे सामना किया, और फिर इसे एक स्वतंत्र तरीके से करने का प्रयास करें।

निष्कर्ष

बीजगणित सबसे जटिल विषयों में से एक हैस्कूल। खैर, मैं इसके बारे में क्या कर सकता हूं? गणित हमेशा यह रहा है: यह किसी को आसानी से दिया जाता है, लेकिन किसी को कठिनाई के साथ दिया जाता है। लेकिन किसी भी मामले में, यह याद रखना चाहिए कि सामान्य शिक्षा कार्यक्रम इस तरह से बनाया गया है कि कोई भी छात्र इसे संभाल सके। इसके अलावा, हमें बड़ी संख्या में सहायकों को ध्यान में रखना चाहिए। उनमें से कुछ ऊपर वर्णित थे।

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